Question

已知函数g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函数，点M（x₀，y₀）、N（y₀，x₀）分别是f（x）、g（x）图象上的点，l₁、l₂分别是函数f（x）、g（x）的图象在M，N两点处的切线，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N两点的坐标；
（Ⅱ）求经过原点O及M、N的圆的方程．

Answer 1

分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用平行直线的斜率相等即可解决问题．
（II）欲求经过原点O及M、N的圆的方程，利用圆的一般方程结合待定系数法求解即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x²（x＞0），所以g(x)=

x

(x＞0)．
从而f'（x）=2x，g′(x)=

1

2 x

．
所以切线l₁，l₂的斜率分别为k₁=f'（x₀）=2x₀，k2=g′(y0)=

1

2 y0

．
又y₀=x₀²（x₀＞0），所以k2=

1

2x0

．
因为两切线l₁，l₂平行，所以k₁=k₂．
因为x₀＞0，
所以x0=

1

2

．
所以M，N两点的坐标分别为(

1

2

，

1

4

)，(

1

4

，

1

2

)．
（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因为圆过原点，所以F=0．因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上．
所以D=E．
又因为M(

1

2

，

1

4

)在圆上，
所以D=E=-

5

12

．
所以过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y2-

5

12

x-

5

12

y=0．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、圆的一般方程、圆的一般方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．