Question

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段为垂足．

(1)求线段中点M的轨迹C的方程；

(2)过点Q(一2，0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(，0)，且以言为方向向量的直线上一动点，满足 (O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l,使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设M(x,y)是所求曲线上的任意一点，P（）是方程的圆上的任意一点，则.

         则有：，即，代入得，

         轨迹C 的方程为.

    （2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

         所以设直线l的方程为y=k(x+2),与椭圆交于两点，N点所在直线方程为.

         由得（4＋）.

         由∴.

         即

        

，即,∴四边形OANB为平行四边形

假设存在矩形OANB,则,即，

即，

于是有     得.

设N（），由得，

即点N在直线x＝－上. ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，

直线l的方程为.