题目内容
如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,Cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=
ri(A)+
Cj(A).
(Ⅰ)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;
(Ⅱ)证明:存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
(Ⅲ)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),证明:l(A)≠0.
a11 | a12 | … | a1n |
a21 | a22 | … | a2n |
• • • |
• • • |
… | • • • |
an1 | an2 | … | ann |
n |
![]() |
i=1 |
n |
![]() |
j=1 |
(Ⅰ)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;
1 | 1 | -1 | -1 |
1 | -1 | 1 | 1 |
1 | -1 | -1 | 1 |
-1 | -1 | 1 | 1 |
(Ⅲ)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),证明:l(A)≠0.
分析:(Ⅰ)计算r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;C1(A)=C2(A)=C4(A)=-1,C3(A)=1,利用定义,可得结论;
(Ⅱ)确定r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1,即可证得结论;
(Ⅲ)用反证法,假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0,利用条件引出矛盾.
(Ⅱ)确定r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1,即可证得结论;
(Ⅲ)用反证法,假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0,利用条件引出矛盾.
解答:(Ⅰ)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;C1(A)=C2(A)=C4(A)=-1,C3(A)=1,
所以l(A)=
ri(A)+
Cj(A)=0. …(3分)
(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表A0:aij(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.
将数表A0中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.
将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.
依此类推,将数表Ai-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak.
即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1.
所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=1,2,…,n.…(7分)
(Ⅲ)证明:用反证法.
假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
因为ri(A)∈{1,-1},Cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),
所以为ri(A),Cj(A)(1≤i≤n,1≤j≤n),这2n个数中有n个1,n个-1.
令M=r1(A)•r2(A)•…•rn(A)C1(A)C2(A)•…•Cn(A).
一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1. ①
另一方面,r1(A)•r2(A)•…•rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);C1(A)C2(A)•…•Cn(A)也表示m,从而M=m2=1. ②
①、②相互矛盾,从而不存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
即n为奇数时,必有l(A)≠0. …(13分)
所以l(A)=
4 |
![]() |
i=1 |
4 |
![]() |
j=1 |
(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表A0:aij(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.
将数表A0中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.
将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.
依此类推,将数表Ai-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak.
即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1.
所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=1,2,…,n.…(7分)
(Ⅲ)证明:用反证法.
假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
因为ri(A)∈{1,-1},Cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),
所以为ri(A),Cj(A)(1≤i≤n,1≤j≤n),这2n个数中有n个1,n个-1.
令M=r1(A)•r2(A)•…•rn(A)C1(A)C2(A)•…•Cn(A).
一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1. ①
另一方面,r1(A)•r2(A)•…•rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);C1(A)C2(A)•…•Cn(A)也表示m,从而M=m2=1. ②
①、②相互矛盾,从而不存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
即n为奇数时,必有l(A)≠0. …(13分)
点评:本题考查新定义,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,考查反证法的运用,难度较大.

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