题目内容

设M是由满足下列条件的函数构成的集合:①方程,有实数根②函数的导数满足.

(I) 若函数为集合M中的任意一个元素,证明:方程只有一个实数根;

(II) 判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;

(III) 设函数为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意,当,且时,证明:.

 

【答案】

(Ⅰ) 令,则,故是单调递减函数,

所以,方程,即至多有一解,

又由题设①知方程有实数根,

所以,方程有且只有一个实数根…………………………………..4分

(Ⅱ) 易知,,满足条件②;

,…………………………………..7分

在区间上连续,所以上存在零点

即方程有实数根,故满足条件①,

综上可知,……….…………………9分

(Ⅲ)不妨设,∵,∴单调递增,

,即

,则,故是单调递减函数,

,即

则有

【解析】略

 

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