题目内容
设M是由满足下列条件的函数构成的集合:①方程,有实数根②函数的导数满足.
(I) 若函数为集合M中的任意一个元素,证明:方程只有一个实数根;
(II) 判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(III) 设函数为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意,当,且时,证明:.
【答案】
(Ⅰ) 令,则,故是单调递减函数,
所以,方程,即至多有一解,
又由题设①知方程有实数根,
所以,方程有且只有一个实数根…………………………………..4分
(Ⅱ) 易知,,满足条件②;
令,
则,…………………………………..7分
又在区间上连续,所以在上存在零点,
即方程有实数根,故满足条件①,
综上可知,……….…………………9分
(Ⅲ)不妨设,∵,∴单调递增,
∴,即,
令,则,故是单调递减函数,
∴,即,
∴,
则有
【解析】略
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