Question

已知函数．
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求；
（Ⅱ）．已知等差数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，且．当m＞n时，比较与的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a₁=2，数列{b_n}的公差为d=2．探究在数列{a_n}与{b_n}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{c_n}的通项公式；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）关于f（x）+f（1-x）=3的证明，只需代入解析式验证即可．求值时，我们利用f（x）+f（1-x）=3即和为1的两个自变量对应的函数值的和为3，再看共有多少对即可，
（Ⅱ）考查等差数列前n项和与第n项的关系．由等差数列第n项的比等于前2n-1项和的比可得，然后在比较大小．
（Ⅲ）假若存在数列{a_n}中的第n项与数列{b_n}中的第k项相等，即，进一步分析可得n不是整数，即可得结论．
解答：解：（Ⅰ）因为（2分）
所以设S=；（1）
S=（2）
（1）+（2）得：
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为
所以．（7分）
所以；
所以当m＞n≥1时，

=
=，∴（10分）

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a₁=2，d=2时

所以{-2+2b₁=-1

d₁=3
所以（12分）
假若存在数列{a_n}中的第n项与数列{b_n}中的第k项相等，
即
因为4k-1为奇数，6为偶数，所以不是整数，
所以在数列{a_n}与{b_n}中没有相等的项．（14分）
点评：第一问：主要查清几对即可．
第二问：两个等差数列前n项的比值与前2n-1项和的比值相等这一规律最好记住，在解决填空与选择题时可以加快速度．
第三问：要注意通项相等和第n项相等的区别．