Question

设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，对任意实数x，都有f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x³.

（1）试证：x=1是函数f(x)的一条对称轴；

（2）证明函数f(x)是以4为周期的函数，并求x∈［1,5］时，f(x)的解析式.

Answer 1

解;（1）因为f(x)为奇函数，∴-f(x)=f(-x)，又f(x+2)=f(-x)， 

∴f［(x-1)+2］=f［-(x-1)］.

∴f(x+1)=f(1-x)，

∴x=1是函数f(x)的一条对称轴.

（2）∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

∴f(x)是以4为周期的函数.

又-1≤x≤1时，f(x)=x³.

当x∈［1,3］,

∴x-2∈［-1,1］,

∴f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=-(x-2)³，

当x∈［3,5］,

∴x-4∈［-1,1］,

∴f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)=(x-4)³;

∴x∈［1,5］时，f(x)的解析式为f(x)=