Question

如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；
（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

Answer 1

证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=

1

2

AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=

1

2

CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

（2）由（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC?α．
否则，若AC?α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNìα，∴AC∥α，
又AC?α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD?平面MNP，NP?平面MNP
∴BD∥平面MNP．