Question

（文）已知在四棱锥G-ABCD中，（如图）ABCD是正方形，且边长为2，正前方ABCDG面ABCD⊥面ABG，AG=BG．
（ I）在四棱锥G-ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在CG上，求证：面AGD⊥面BGC
（ II）在（ I）的条件下，求三棱锥D-ACG的体积及其外接球的表面积．

Answer 1

分析：（I）由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性质可得BC⊥面ABG，则BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由线面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC 
（II）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB，利用等积法可得V_D-ACG=V_G-ACD=

1

3

GE•S_△ACD，取AC中点M，可证得M即为三棱锥D-ACG的外接球的球心，求出球半径后，代入球的表面积公式，可得答案．

解答：证明：（I）ABCD是正方形
∴BC⊥AB
∵面ABCD⊥面ABG
∴BC⊥面ABG      …2分
∵AG?面ABG
∴BC⊥AG
又BH⊥面AGC
∴BH⊥AG…4分
又∵BC∩BH=B
∴AG⊥面AGD
∴面AGD⊥面BGC               …6分
（ II）由（ I）知  AG⊥面BGC
∴AG⊥BG
又AG=BG
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB
∴GE⊥面ABCD
∴V_D-ACG=V_G-ACD=

1

3

GE•S_△ACD=

1

3

•

1

2

•2a•

1

2

（2a）²=

2

3

a3  …8分
又AG⊥GC
∴取AC中点M，则MG=

1

2

AC
因此：MG=MA=MC=MD=

2

a
即点M是三棱锥D-ACG的外接球的球心，
半径为

2

a
∴三棱锥D-ACG的外接球的表面积S=4πR²=8πa²             …12分．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，球的表面积，其中（1）要熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法及球半径的求解．