Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．
∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．
（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．
∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．
∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．
∵A1A=2，AO=A1O=．
∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．

【解析】（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；
（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角，由余弦定理，可得结论；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．