题目内容
(2007
山东，19)如下图，在直四棱柱
中，已知
，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)
设E是DC的中点，求证：
∥平面
；
(2)
求二面角
的余弦值．
答案：略
解析：
解析：
|
解析：解法一： (1)连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴  ，且 ，
∴四边形  为平行四边形．
∴  ．
又  平面 ， 平面 ，
∴  ．
(2) 以D为原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)， (0，2，2)， (1，0，2)，
∴  =(1，0，2)， =(1，1，0)．
设 n=(x，y，z)为平面 的一个法向量，
由  ， ，
得 
取 z=1，则n=(－2，2，1)．又  =(0，2，2)， =(1，1，0)，
设  为平面 的一个法向量，由 ， ，
得 
取  ，则m=(1，－1，1)．
设 m与n的夹角为α，二面角 为θ，显然θ为锐角，
∴  ．∴ ．
即所求二面角  的余弦值为 ．
解法二： (1)以D为原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 DA=a，由题意知：D(0 ，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)， (0，2a，2a)， (a，0，2a)， (0，0，2a)，E(0，a，0)，
∴  =(0，a，－2a)， =(a，0，2a)， =(a，a，0)．
又 (0，a，－2a)=(a，a，0)－(a，0，2a)，∴  ．
∵  ，DB 平面 ， 平面 ，
∴  ．
(2) 取DB的中点F， 的中点M，连接 ，FM，由(1)及题意得知 ，M(0，a，a)，
∴  ，
∴  ，FM⊥DB．
∴  为所求二面角的平面角．
∴ 
所以二面角  的余弦值为 ．
解法三： (1)证明：如解法一图，连接 ，AE，
设  ，AE∩BD=F，连接GF，
由题意知 G是 的中点，又E是CD的中点，
∴四边形 ABED是平行四边形，故F是AE的中点，∴在  中， ，
又 GF 平面 ， 平面 ，
∴  ∥平面 ．
(2) 如图，在四边形ABCD中，设AD=a，
∵ AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC，∴ AD⊥AB．故  ，由(1)得 ，DC=2a，
∴∠ DBC=90°，即 BD⊥BC．又 ，
∴ BD⊥平面 ，又 平面 ，∴ ．
取  的中点M，连接 ，FM，由题意知 ，
∴ FM⊥BD．又 ，∴ ．
∴  为二面角 的平面角，
连接  ，在 中，由题意知：
 ，
取  的中点H，连接 ，HM，
在 Rt 中，∵ ，HM=a，
∴  ．
∴  ．
∴二面角  的余弦值为 ． |
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