题目内容
某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10%．现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡．设计了如下方案：按n（1≤n≤50，且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验．记X为某一组中病鸡的只数．（1）若n=5，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小．
（参考数据：取0.93=0.73，0.94=0.66，0.95=0.59，0.910=0.35，0.925=0.07．）
【答案】分析：（1）当n=5时，X～B（5，0.1），可得
，r=0，1，2，3，4，5，分别可得概率值，进而可得分布列，可得期望；
（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，可得50只鸡的化验总次数的期望
，分别代入可得f的值，比较可得最小值，进而可得对应的n值．
解答：解：（1）当n=5时，X～B（5，0.1），
则
，r=0，1，2，3，4，5，…（2分）
故X的概率分布表为：
所以E（X）=5×0.1=0.5； …（4分）
（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，
当n∈{1}时，需化验50次； …（5分）
当n∈{2，5，10，25，50}时，X～B（n，0.1），…（6分）
对于某一组的n只鸡，化验次数Y的所有可能值为1，n+1，
且P（Y=1）=0.9n，P（Y=n+1）=1-0.9n，
所以E（Y）=1×0.9n+（n+1）×（1-0.9n）=n+1-n•0.9n，…（7分）
故50只鸡的化验总次数的期望
=
，…（8分）
算得f（2）=34.5，f（5）=30.5，f（10）=37.5，f（25）=48.5，f（50）=51，
所以按5只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小． …（10分）
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及等可能事件的概率，属中档题．
，r=0，1，2，3，4，5，分别可得概率值，进而可得分布列，可得期望；（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，可得50只鸡的化验总次数的期望
，分别代入可得f的值，比较可得最小值，进而可得对应的n值．解答：解：（1）当n=5时，X～B（5，0.1），
则
，r=0，1，2，3，4，5，…（2分）故X的概率分布表为：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| P | 0.59 | 0.33 | 0.073 | 0.0081 | 0.00045 | 0.00001 |
（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，
当n∈{1}时，需化验50次； …（5分）
当n∈{2，5，10，25，50}时，X～B（n，0.1），…（6分）
对于某一组的n只鸡，化验次数Y的所有可能值为1，n+1，
且P（Y=1）=0.9n，P（Y=n+1）=1-0.9n，
所以E（Y）=1×0.9n+（n+1）×（1-0.9n）=n+1-n•0.9n，…（7分）
故50只鸡的化验总次数的期望
=，…（8分）算得f（2）=34.5，f（5）=30.5，f（10）=37.5，f（25）=48.5，f（50）=51，
所以按5只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小． …（10分）
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及等可能事件的概率，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:
|
|
得病 |
不得病 |
合计 |
|
干净水 |
52 |
466 |
518 |
|
不干净水 |
94 |
218 |
312 |
|
合计 |
146 |
684 |
830 |
利用列联表的独立性检验,判断能否以99.9%的把握认为“该地区的传染病与饮用不干净的水有关”
参考数据：
|
|
0．25 |
0．15 |
0．10 |
0．05 |
0．025 |
0．010 |
0．005 |
0．001 |
|
|
1．323 |
2．072 |
2．706 |
3．841 |
5．024 |
6．635 |
7．879 |
10．828 |
