题目内容
如图，已知椭圆E：
＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.
(1)求椭圆E的方程；
(2)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
解：(1)∵2a＝2×2b，∴a＝2b.
∵椭圆E过点C(2,1)，
(2)依题意得D点的坐标为(－2，－1)，且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率kCP和kDP均存在．
又∵点P在椭圆E上，
∴直线CP和DP的斜率之积为定值－
.
(3)∵直线CD的斜率为
，CD平行于直线l，
∴设直线l的方程为y＝x＋t.
点C到直线MN的
距离为：
当且仅当t2＝4－t2，即t2＝2时取等号，
∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为
练习册系列答案
相关题目
（a＞b＞0）的离心率
，过顶点A、B的直线与原点的距离为
．
（a＞b＞0）的离心率
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．
：＋＝1(a＞b＞0)的长轴AB长为4，离心率e＝，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线
于点M，N为
的中点．
为直径的圆
上；
：＋＝1(a＞b＞0)的长轴AB长为4，离心率e＝，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线
于点M，N为
的中点．
（1）求椭圆
为直径的圆
上；