题目内容

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由．
第一组： $数学公式$ ；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）设 $数学公式$ ，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设 $数学公式$ ，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x₁，x₂且x₁+x₂=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）①设 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
取 $\text{[math]}$ ，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．
②设a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，则 $\text{[math]}$ ，该方程组无解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．…
（2） $\text{[math]}$ h（4x）+t•h（2x）＜0，即log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0
所以，（2+log₂x）+t（1+log₂x）＜0．因为x∈[2，4]，所以1+log₂x∈[2，3]
则 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在[2，4]上单调递增，所以 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　…
（3）由题意得， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ ．　　　　　　　　…
假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
设t=x₁x₂，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上单调递减，从而 $\text{[math]}$
故存在最大的常数m=289
分析：（1）化简h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得与 $\text{[math]}$ 相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
（2）设 $\text{[math]}$ ，生成函数 $\text{[math]}$ 化简不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求 $\text{[math]}$ 的最大值，即可．
（3）由题意得， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，由于生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．故 $\text{[math]}$ ，可求得 $\text{[math]}$ 所以函数 $\text{[math]}$ ．假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．即有 $\text{[math]}$ ，从而转化为求u的最小值即可．
点评：本题考查其他不等式的解法，函数的概念及其构成要素，函数恒成立问题，考查值思想，分类讨论，计算能力，函数与方程的思想，是中档题．