题目内容

给出下列命题：
①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是 $数学公式$ ；
②双曲线 $数学公式$ 与椭圆 $数学公式$ 有相同的焦点；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为 $数学公式$ ，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x．
④椭圆 $数学公式$ 的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2．其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）

②③
分析：①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是 $\text{[math]}$ ，用待定系数法求出抛物线的方程，对比判断；
②双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，求出焦点坐标判断；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，由题设条件求出渐近线方程．
④椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2，由椭圆的简单性质判断．
解答：①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是 $\text{[math]}$ 是错误命题，因为还有一条焦点在y轴上的抛物线；
②双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，是正确命题，因为两个曲线的焦点都在x轴上，半焦距c相等都是 $\text{[math]}$ ；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，是正确命题，因为离心率为 $\text{[math]}$ 解得其渐近线方程为y=±2x，故正确．
④椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2是错误命题，这是因为，由解析式知，半焦距长为1，，△PF₁F₂的面积的最大值为2，即bc=2．可得b=2，故m=4，
综上，正确命题是②③
故答案为：②③．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是熟练掌握圆锥曲线的性质，并能根据它们的性质进行推理判断，得出结论．