Question

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，o）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁，A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．那么当m满足条件

m=-1

时，曲线C是圆；当m满足条件

m＞0

 时，曲线C是双曲线．

Answer 1

分析：设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论 m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况．

解答：解：设动点为M，其坐标（x，y）．
当x≠±a时，由条件可得k₁•k₂=

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a）．又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=ma²．
当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦点在x轴上的双曲线．
故答案为：m=-1，m＞0．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线与方程的关系的应用，圆锥曲线的判断，考查分类讨论思想的应用．