Question

某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：

学段	硬件建设（万元）	配备教师数	教师年薪（万元）
初中	26/班	2/班	2/人
高中	54/班	3/班	2/人

因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．
（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）
（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？

Answer 1

分析：设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分） 
   

20≤x+y≤30 x+2y≤40 x≥0，x∈N* y≥0，y∈N*

…（5分）
（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）
由（I）作出可行域如图．…（9分）
由方程组

x+y=30 x+2y=40

得交点M（20，10）…（11分）
作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）
∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．