Question

设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97²，则这样的数列共有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：设首项为a，公差为d，项数为n，则各项和为na+

1

2

n（n-1）d=97²，所以n[2a+（n-1）d]=2×97²，即n为2×97²的大于3的约数．由于数列的首项及公差均为非负整数分类讨论可得答案．

解答：解：设首项为a，公差为d，项数为n，则各项和为na+

1

2

n（n-1）d=97²，
所以n[2a+（n-1）d]=2×97²，即n为2×97²的大于3的约数．又2×97²的大于3的约数共有1、2、97、2×97、97²、2×97²分别进行讨论：
（1）若n=97²，则2a+（97²-1）d=2，由于数列的首项及公差均为非负整数，若d=0，可得a=1；若d≥1则a＜0不合题意，故有一解；
（2）同理若n=97，则2a+96d=194，若d=0，则a=97；若d=1，则a=49；d若=2，则a=1．故有三解；
（3）同理若n=2×97，或n=2×97²，无解．
（4）若n=1，或2时，n＜3不合题意．故符合题意的共4种情况．
故选C

点评：本题以等差数列为载体考查分类讨论及数列的求和问题，属中档题．