Question

如图所示，在圆锥PO中，已知PO=

2

，⊙O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠COB=60°，则二面角B-PA-C的余弦值是

6

3

．

Answer 1

分析：过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥PA，垂足为F，连接CF，可证∠CFD为二面角B-PA-C的平面角，求出DF=

6

2

，CF=

3 4 + 6 4

=

3

2

，即可求得二面角B-PA-C的余弦值．

解答：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥PA，垂足为F，连接CF，则
∵PO⊥圆O，CD?圆O，∴PO⊥CD
∵AB∩PO=O，∴CD⊥平面PAB
∵DF⊥PA，∴CF⊥PA
∴∠CFD为二面角B-PA-C的平面角
∵⊙O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠COB=60°
∴CD=

3

2

，AD=

3

2

∵PO=

2

，∴PA=

3

由AD×PO=PA×DF，可得DF=

6

2

∴CF=

3 4 + 6 4

=

3

2

∴cos∠CFD=

DF

CF

=

6

3

故答案为：

6

3

点评：本题考查二面角的平面角，解题的关键是正确作出二面角的平面角，利用等面积计算DF的长，属于中档题．