题目内容

【题目】设函数f(x)=emx+x2-mx
(1)(I)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增;
(2)(II)若对于任意x1 , x2[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围。

【答案】
(1)

证明:(I)f(x)=m(emx-1)+2x

若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0;当x(0,+)时,emx-10,f(x)0.

若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0’;当当x(0,+)时,emx-10,f(x)0.

所以,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增


(2)

【解答】由(I)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值。所以对于任意x1,x2[-1,1],|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是:,即①,设函数g(t)=,则g(t)=et-1,当t0时,g(t)0,当t0时,g(t)0

故g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增

又g(1)=0,g(-1)=,故当t[-1,1]时,g(t)0,当m[-1,1]时,g(m)0,g(-m)0,即①成立。

当m1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即,当m-1时,g(-m)0,即,

综上,m的取值范围是[-1,1].


【解析】(Ⅰ)先求导函数f(x)=m(emx-1)+2x,根据m的范围讨论导函数在(-,0)和(0,+)的符号即可;
(II)|f(x1)-f(x2)|e-1恒成立,等价于|f(x1)-f(x2)|maxe-1。由x1:x2是两个独立的变量,故可求研究f(x)的值域,由(I)可得最小值为f(0)=1,最大值可能是f(-1)或f(1),故只需,从而得关于m的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解。
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导).

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