题目内容
【题目】设函数f(x)=emx+x2-mx
(1)(I)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+
)单调递增;
(2)(II)若对于任意x1 , x2[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|
e-1,求m的取值范围。
【答案】
(1)
证明:(I)f‘(x)=m(emx-1)+2x
若m0,则当x
(-
,0)时,emx-1
0,f‘(x)
0;当x
(0,+
)时,emx-1
0,f‘(x)
0.
若m0,则当x
(-
,0)时,emx-1
0,f‘(x)
0’;当当x
(0,+
)时,emx-1
0,f‘(x)
0.
所以,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+
)单调递增
(2)
【解答】由(I)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值。所以对于任意x1,x2[-1,1],|f(x1)-f(x2)|
e-1的充要条件是:
,即
①,设函数g(t)=
,则g‘(t)=et-1,当t
0时,g(t)
0,当t
0时,g(t)
0
故g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+
)单调递增
又g(1)=0,g(-1)=,故当t
[-1,1]时,g(t)
0,当m
[-1,1]时,g(m)
0,g(-m)
0,即①成立。
当m1时,由g(t)的单调性,g(m)
0,即
,当m
-1时,g(-m)
0,即
,
综上,m的取值范围是[-1,1].
【解析】(Ⅰ)先求导函数f‘(x)=m(emx-1)+2x,根据m的范围讨论导函数在(-,0)和(0,+
)的符号即可;
(II)|f(x1)-f(x2)|e-1恒成立,等价于|f(x1)-f(x2)|max
e-1。由x1:x2是两个独立的变量,故可求研究f(x)的值域,由(I)可得最小值为f(0)=1,最大值可能是f(-1)或f(1),故只需
,从而得关于m的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解。
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导).
