Question

设函数f（x）=cos²x+4tsin²

x

2

+t³-3t（x∈R），其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t），则函数g（t）的单调递增区间为（　　）

• A、(-∞，-

  1

  3

  )，(1，+∞)
• B、[-1，-

  1

  3

  ]
• C、(

  1

  3

  ，+∞)
• D、[

  1

  3

  ，1]

Answer 1

分析：先利用二倍角公式对函数解析式化简整理，利用二次函数的性质和t的范围以及sin²

x

2

的范围确定函数的最小值的表达式，即g（t）进而对函数进行求导，利用导函数大于0求得t的范围，即函数g（t）的递增区间．

解答：解：f（x）=cos²x+4tsin²

x

2

+t³-3t=4sin⁴

x

2

+（4t-4）sin²

x

2

+t³-3t+1=4（sin²

x

2

+

t-1

2

）²+t³-t²-t
∵|t|≤1，sin²

x

2

≤1
∴当sin²

x

2

=-

t-1

2

时函数有最小值为g（t）=t³-t²-t
∴g'（t）=3t²-2t-1
当g'（t）=3t²-2t-1＞0，即t＞1或t＜-

1

3

时，函数g（t）单调增．因为|t|≤1
故函数g（t）的单调递增区间为[-1，-

1

3

]；
故选B．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，二次函数的性质以及利用导函数判断函数单调性的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．