题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,锐角、
的终边分别与单位圆交于
,
两点.
(1)如果,
点的横坐标为
,求
的值;
(2)若角的终边与单位圆交于C点,设角
、
、
的正弦线分别为
,求证:线段
能构成一个三角形;
(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明详见解析;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由同角间基本关系式,由可得
,
据三角函数定义可得
,
,由两角和的余弦公式将
展开代入可得其值;(2)由题意知
,
,
.再利用正余弦值证明两边之和大于第三边和二边之差小于第三边,可判断三条线段能构成一个三角形;(3) 设
的边长分别为
,由余弦定理可得
,进一步得
,再由正弦定理
,可得
值.
试题解析:
(1)已知是锐角,根据三角函数的定义,得
又,且
是锐角,所以
.
所以.
(2)证明:依题意得,,
,
因为,所以
,
,于是有
,①
又∵,
,②
同理,,③
由①,②,③可得,线段能构成一个三角形.
(3)第(2)小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为.
不妨设的边长分别为
,其中角
、
、
的对边分别为
.则由余弦定理,得:
.
因为,所以
,所以
,
设的外接圆半径为R,由正弦定理,得
,∴
,
所以的外接圆的面积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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