题目内容

已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，则称数列{b_n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：
数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；
数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；
数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是 $数学公式$ ，试再写出该数列的一个通项公式；
（2）求数列③的前n项和S_n；
（3）在数列③中，若a=2，b= $数学公式$ ，c=-1，且它有一个形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ，求该数列的一个通项公式b_n．

解：（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；
∴a_n= $\text{[math]}$ 等．（3分）
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时， $\text{[math]}$ ；（5分）
当n=3k+2时， $\text{[math]}$ ；（7分）
当n=3k+3时， $\text{[math]}$ （k∈N）．（9分）
（3）由题意，ω＞0，应有 $\text{[math]}$ ，得ω= $\text{[math]}$ ，（10分）
于是b_n=Asin（ $\text{[math]}$ n+φ）+B，
把b₁=2，b₂= $\text{[math]}$ ，b₃=-1，代入上式得 $\text{[math]}$ （12分）
由（1）（2）可得Acosφ= $\text{[math]}$ ，再代入（1）的展开式，可得- $\text{[math]}$ φ+B= $\text{[math]}$ ，与（3）联立得B= $\text{[math]}$ ，（13分）
Asinφ=- $\text{[math]}$ ，于是tanφ=- $\text{[math]}$
因为|φ|＜ $\text{[math]}$ ，所以φ=- $\text{[math]}$ ，（14分）
于是可求得A= $\text{[math]}$ ．（15分）
故b_n= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （16分）
分析：（1）根据数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列，可写出数列的通项；
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；
（3）由题意，ω＞0，应有 $\text{[math]}$ ，得ω= $\text{[math]}$ ，于是b_n=Asin（ $\text{[math]}$ n+φ）+B，把b₁=2，b₂= $\text{[math]}$ ，b₃=-1，代入上式，即可得出结论．
点评：本题考查数列与三角函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，有一定难度．