Question

已知f(x)=x+

a

x

(a＞0)，当x∈[1，3]时，f（x）的值域为A，且A⊆[n，m]（n＜m）．
（1）若a=1，求m-n的最小值；
（2）若m=16，n=8，求a的值；
（3）若m-n≤1，且A=[n，m]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的单调性可得f（x）∈[f（1），f（3）]，由m-n≥f(3)-f(1)=

4

3

，求得m-n的最小值．
（Ⅱ）由题意可得，当m=16时，a≤16x-x²恒成立，a≤（-x²+16x）_min =15．当n=8时，a≥8x-x²恒成立，a≥（-x²+8x）_max =15，由此求得a的值．
（3）根据 m-n≤1，且A=[n，m]，分

a

≤1、1＜

a

＜3 和

a

≥3三种情况，分别求出a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）在区间[1，3]上单调递增，∴f（x）∈[f（1），f（3）]，…（3分）
∴当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=

4

3

，即m-n的最小值是

4

3

．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得，当m=16时，x+

a

x

≤16恒成立，即当x∈[1，3]时，a≤16x-x²恒成立，
∴a≤（-x²+16x）_min =15．…（7分）
当n=8时，x+

a

x

≥8恒成立，即当x∈[1，3]时，a≥8x-x²恒成立，∴a≥（-x²+8x）_max =15．…（9分）
综上可得：a=15．…（10分）
（Ⅲ）①若

a

≤1，即0＜a≤1时，f(x)=x+

a

x

在[1，3]单调递增，
∴

1≥m-n≥f(3)-f( a )= 2a 3 -2 0＜a≤1

，a无解．…（11分）
②当1＜

a

＜3，即1＜a＜9时，f(x)=x+

a

x

在[1，

a

]递减，在[

a

，3]递增，
∴

1≥m-n≥f(3)-f( a ) 1≥m-n≥f(1)-f( a ) 1＜a＜9

，∴

3- 3 ≤ a ≤3+ 3 0≤ a ≤2 1＜a＜9

，

(3- 3 )2≤a≤(3+ 3 )2 0≤a≤4 1＜a＜9

，12-6

3

≤a≤4．…（13分）
③当

a

≥3，即a≥9时，函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，
∴

1≥m-n≥f(1)-f(3)= 2 3 a-2 a≥9

，a无解；…（14分），
综上可得：12-6

3

≤a≤4．…（16分）

点评：本题主要考查利用函数的单调性求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．