题目内容
已知:三定点A(-2 |
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2 |
3 |
1 |
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2 |
3 |
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线3x-3my-2截动点P的轨迹所得弦长为2,求m的值;
(3)是否存在常数λ,使得∠PBC=λ∠PCB,若存在,求λ的值,若不存在,并请说明理由.
分析:(1)根据题意可推断出:|PA|-|PB|=|AN|-|BN|,进而利用双曲线的定义推断出P的轨迹为双曲线的一部分,设出双曲线的方程利用题意可求得a和c,则b可求得,进而求得双曲线的方程.
(2)设出直线与P的轨迹交与Q1和Q2,利用双曲线的定义表示出Q1Q2,把直线与双曲线的方程联立,消去y,利用韦达定理表示出x1+x2,求得m.
(3)先通过x=
时,求得BP,BC进而猜想出λ的值,进而看x≠
时,设出P的坐标代入椭圆的方程,表示出tan∠PCB,利用正切的二倍角公式求得tan2∠PCB,进而tan∠PBC=-tan∠PBx判断出tan2∠PCB=tan∠PBC,进而可知存在λ=2,使题设成立.
(2)设出直线与P的轨迹交与Q1和Q2,利用双曲线的定义表示出Q1Q2,把直线与双曲线的方程联立,消去y,利用韦达定理表示出x1+x2,求得m.
(3)先通过x=
2 |
3 |
2 |
3 |
解答:解:(1)由平几知识得:|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=
>|AB|=
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线(部分)
设它的方程为
-
=1(x>a),则
解得:
,故所求的方程为
-
=1(x>
)
(2)设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-
)=2(x1+x2-
)=2
∴x1+x2=
若m=0,则x1=x2=
,此时x1+x2=
,即|Q1Q2|=2合题意若m≠0,由
,消去y得:9x2-3(
-
x)2=1,
化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,x1+x2=
=
解得m=0与m≠0矛盾.
∴m=0
(3)当x=
时,|BP|=1,|BC|=1,此时∠PCB=45°,∠PBC=90°
猜想λ=2
当x≠
时,设P(x,y)则{y^2}=-3(
-x2),且tan∠PCB=
∴tan2∠PCB=
=
=
=
=
而tan∠PBC=-tan∠PBx=
=
∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0<∠PBC<π,0<2<PBC<π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2,使得:∠PBC=λ∠PCB
2 |
3 |
4 |
3 |
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线(部分)
设它的方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
|
解得:
|
x2 | ||
|
y2 | ||
|
1 |
3 |
(2)设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-
1 |
3 |
1 |
3 |
∴x1+x2=
4 |
3 |
若m=0,则x1=x2=
2 |
3 |
4 |
3 |
|
2 |
3m |
1 |
m |
化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,x1+x2=
12 |
9-27m2 |
4 |
3 |
解得m=0与m≠0矛盾.
∴m=0
(3)当x=
2 |
3 |
猜想λ=2
当x≠
2 |
3 |
1 |
9 |
y | ||
x+
|
∴tan2∠PCB=
2•(
| ||||
1-
|
2y(x+
| ||
(x+
|
2y(x+
| ||||
(x+
|
2y | ||
|
y | ||
|
而tan∠PBC=-tan∠PBx=
y | ||
x-
|
y | ||
|
∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0<∠PBC<π,0<2<PBC<π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2,使得:∠PBC=λ∠PCB
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生基础知识的综合利用以及的基本的运算能力.

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