题目内容
如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值.
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
(1)见解析 (2) +1
【解析】(1)设P(x0,x0+)(x0>0).
则|PN|=x0,|PM|==
,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为
y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+
.
解方程组
得x=y=x0+,所以|OM|=
x0+
.
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
=|PN|·|ON|+
|PM|·|OM|
=x0(x0+
)+
(
x0+
)
=+
(
+
)
≥+1,
当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为
+1.

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