题目内容

如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=xy轴的垂线,垂足分别为M,N.

(1)证明:|PM|·|PN|为定值.

(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

 

(1)见解析 (2) +1

【解析】(1)P(x0,x0+)(x0>0).

|PN|=x0,|PM|==,

因此|PM|·|PN|=1.

(2)连接OP,直线PM的方程为

y-x0-=-(x-x0),y=-x+2x0+.

解方程组

x=y=x0+,所以|OM|=x0+.

S四边形OMPN=SNPO+SOPM

=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|

=x0(x0+)+(x0+)

=+(+)

+1,

当且仅当x0=,x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.

 

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