Question

袋中装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码为n的球的重量为

n2

3

-5n+24（克），这些球以等可能性（不受重量、号码的影响）从袋中取出．
（Ⅰ）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；
（Ⅱ）如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率．

Answer 1

分析：（I）试验发生包含的事件是任取1个球，共有35个等可能的结果，满足条件f（n）＞n，解关于n的一元二次不等式，得到n的范围，看出n的个数，然后根据古典概型及其概率计算公式可得到概率；
（II）试验发生包含的事件是任取两个球共有

C

2 35

种等可能的取法，满足条件的事件是它们重量相等，写出关于n的方程，根据条件得到n之间的关系，得到符合条件的事件数，最后根据古典概型及其概率计算公式可得到概率．

解答：解：（1）由不等式

n2

3

-5n+24＞n，得n＞12，或n＜6．
由题意，知n=1，2，3，4，5或n=13，14，15，16，17，…，35共22个号码．
∴所求概率为

28

35

=

4

5

；
（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，则有

n2

3

-5n+24=

m2

3

-5m+24，
∴（n-m）（n+m-15）=0，
∵n≠m，∴n+m=15，
满足m+n=15的数对（n，m）有（1，14），（2，13），…，（7，8）共7个．
故所求概率为

7

C 2 35

=

1

85

．

点评：本题主要考查了古典概型的概率计算，考查了学生的运算能力，解题的关键是求符合条件的基本事件个数．