题目内容
设函数f(x)=x1nx(x>0).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)过点A(-e-2,0)作函数y=f(x)的切线,求切线方程.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)过点A(-e-2,0)作函数y=f(x)的切线,求切线方程.
分析:(1)先求出函数的定义域和导数,再求函数的“临界点”,分别求出f'(x)<0和f'(x)>0的解集,即求出函数的单调区间,再求出函数的最小值;
(2)先求出函数F(x)的定义域和导数F′(x),并对F′(x)进行化简,再对a分类:a≥0时和a<0时,分别求出f'(x)<0和f'(x)>0的解集,下结论求出单调区间;
(3)先设切点坐标,再由导数的几何意义和斜率的坐标公式,把A和切点的坐标代入列出方程,再构造函数,结合此函数的单调性求出函数唯一的零点,即是对应方程的根x0,代入f'(x)求出斜率,再代入点斜式方程化为一般式.
(2)先求出函数F(x)的定义域和导数F′(x),并对F′(x)进行化简,再对a分类:a≥0时和a<0时,分别求出f'(x)<0和f'(x)>0的解集,下结论求出单调区间;
(3)先设切点坐标,再由导数的几何意义和斜率的坐标公式,把A和切点的坐标代入列出方程,再构造函数,结合此函数的单调性求出函数唯一的零点,即是对应方程的根x0,代入f'(x)求出斜率,再代入点斜式方程化为一般式.
解答:(1)解:由题意得函数的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)=0,得x=
.
∵当x∈(0,
)时,f'(x)<0;当x∈(
,+∞)时,f'(x)>0,
∴函数在(0,
)上递减,在和(
,+∞)上递增,
∴当x=
时,函数取极小值,也最小值为f(x)min=
ln
,
(2)由题意得F(x)=ax2+lnx+1,且定义域为(0,+∞),
F′(x)=2ax+
=
,
①当a≥0时,恒有F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,
令F'(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<
;
令F'(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>
.
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在(0,
)上单调递增,在(
,+∞)上单调递减.
(3)设切点T(x0,y0),则y0=x0lnx0,
又kAT=f′(x0),把A(-e-2,0)代入得,
=lnx0+1,即e2x0+lnx0+1=0,
设h(x)=e2x+lnx+1,且定义域为(0,+∞),h′(x)=e2+
,
∴x>0时,h′(x)>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴函数h(x)最多只有一个零点,
即e2x0+lnx0+1=0最多只有一个根,
根据h(x)=e2x+lnx+1特点:①“使e2x为整数”,②“使lnx为整数”,
需要给x特殊值(取1或对数底数的幂的形式)使h(x)=0,
易得h(
)=e2×
+ln
+1=0,
∴即为函数h(x)唯一的零点x0=
,也是对应方程e2x0+lnx0+1=0唯一的实根,
由f'(x0)=ln
+1=-1得,kAT=-1,
则所求的切线方程是y-0=-(x+e-2),即x+y+
=0.
且f'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)=0,得x=
1 |
e |
∵当x∈(0,
1 |
e |
1 |
e |
∴函数在(0,
1 |
e |
1 |
e |
∴当x=
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
(2)由题意得F(x)=ax2+lnx+1,且定义域为(0,+∞),
F′(x)=2ax+
1 |
x |
2ax2+1 |
x |
①当a≥0时,恒有F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,
令F'(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<
-
|
令F'(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>
-
|
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在(0,
-
|
-
|
(3)设切点T(x0,y0),则y0=x0lnx0,
又kAT=f′(x0),把A(-e-2,0)代入得,
x0lnx0 | ||
x0+
|
设h(x)=e2x+lnx+1,且定义域为(0,+∞),h′(x)=e2+
1 |
x |
∴x>0时,h′(x)>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴函数h(x)最多只有一个零点,
即e2x0+lnx0+1=0最多只有一个根,
根据h(x)=e2x+lnx+1特点:①“使e2x为整数”,②“使lnx为整数”,
需要给x特殊值(取1或对数底数的幂的形式)使h(x)=0,
易得h(
1 |
e2 |
1 |
e2 |
1 |
e2 |
∴即为函数h(x)唯一的零点x0=
1 |
e2 |
由f'(x0)=ln
1 |
e2 |
则所求的切线方程是y-0=-(x+e-2),即x+y+
1 |
e2 |
点评:本题考查了导数与函数的单调性、最值关系,由导数的几何意义出求切线的方程,以及“超越方程”的根与函数的零点转化等综合应用,考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数方法,易错在求切线方程时,注意“在”和“过”某点的区别.

练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=-
(x∈R),区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N成立的实数对 (a,b)有( )
x |
1+|x| |
A、0个 | B、1个 |
C、2个 | D、无数多个 |