题目内容
(本题满分12分)
已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的2倍,求所有满足条件的集合A。
已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的2倍,求所有满足条件的集合A。
A={4,5,6}
解法一:依题意,不妨设,对应的三个内角是
由正弦定理, …………………………4分
所以 …………………………6分
由余弦定理, ……………8分
即 化简,得:
所以,不合题意,舍去。
,三角形的三边长为4,5,6. …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故:A={4,5,6} …………………………12分
解法二:先考虑三角形应满足的第一个性质:三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3,因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边;
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2,b=3,c=4
因为,
此三角形中,A是最小角,C是最大角,但是所以2A≠C从而三边
长分别是a=2,b=3,c=4不符合条件。 …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3,b=4,c=5,此三角形是直角三角形,最大角是900,最小角不等于450,此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4,b=5,c=6,此时
,,
因为,所以2A=C
故三边长分别是a=4,b=5,c=6满足条件。 …………………………8分
⑸当n>4时,三角形ABC的三边长分别是a=n,b=n+1,c=n+2时,三角形的最小角是A,最大角是C,
随n的增大而减小,A随之增大,随n的增大而增大,C随之减小。由于n=4时有2A=C,所以n>4时不可能有2A=C。 …………………………11分
总上可知,只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件,即A={4,5,6} …………12分
由正弦定理, …………………………4分
所以 …………………………6分
由余弦定理, ……………8分
即 化简,得:
所以,不合题意,舍去。
,三角形的三边长为4,5,6. …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故:A={4,5,6} …………………………12分
解法二:先考虑三角形应满足的第一个性质:三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3,因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边;
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2,b=3,c=4
因为,
此三角形中,A是最小角,C是最大角,但是所以2A≠C从而三边
长分别是a=2,b=3,c=4不符合条件。 …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3,b=4,c=5,此三角形是直角三角形,最大角是900,最小角不等于450,此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4,b=5,c=6,此时
,,
因为,所以2A=C
故三边长分别是a=4,b=5,c=6满足条件。 …………………………8分
⑸当n>4时,三角形ABC的三边长分别是a=n,b=n+1,c=n+2时,三角形的最小角是A,最大角是C,
随n的增大而减小,A随之增大,随n的增大而增大,C随之减小。由于n=4时有2A=C,所以n>4时不可能有2A=C。 …………………………11分
总上可知,只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件,即A={4,5,6} …………12分
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