Question

若O（0，0），A（4，-1）两点到直线ax+a²y+6=0的距离相等，则实数a可能取值的个数共有（　　）个．

A．无数

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由平面几何的定理，两个点到一条动直线的距离相等，说明两点的连线与直线平行，或者直线经过两点所连线段的中点．因此对本题分两种情形加以讨论，建立相应的关系式，可求得符合题的a值个数．

解答：解：由题意，直线ax+a²y+6=0与直线OA平行或过OA连线的中点，
分两种情形讨论：
（1）当直线ax+a²y+6=0与直线OA平行时，可得
直线OA的斜率为kOA=

-1-0

4-0

=-

1

4

，
∴-

1

a

=

1

-4

⇒a=4
（2）当直线ax+a²y+6=0过OA连线的中点(2，-

1

2

)时，2a-

1

2

a2+6=0⇒a=6或a=-2
因此有3个a值符合题意
故选C．

点评：本题考查了点到直线的距离相等的问题，属于中档题．熟悉平面几何的相关定理，结合分类讨论建立相应的关系式解方程，是解决本题的关键．