题目内容

已知椭圆C₁： $数学公式$ ，双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C₂的方程；
②圆C：x²+y²=r²（r＞0）与两曲线C₁、C₂交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

解：①依题意，设双曲线C₂的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
椭圆C₁的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦点为F（±2，0），
所以 $\text{[math]}$ ，
解得a=1，c=2， $\text{[math]}$ ．
②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、 $\text{[math]}$ ，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3）， $\text{[math]}$ ．
所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，
当且仅当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或r＞4．
直线y=±x与椭圆C₁的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C₁、C₂的交点不只四个，不合要求．
直线y=±x与双曲线C₂的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，符合要求，
即 $\text{[math]}$ 时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．
分析：①依题意，设双曲线C₂的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），由双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数，知 $\text{[math]}$ ，由此可求出双曲线C₂的方程．
②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、 $\text{[math]}$ ，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3）， $\text{[math]}$ ．所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，再运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．
点评：本题是椭圆、双曲线与圆的综合，解题要求先用待定系数法求轨迹方程，再数形结合讨论曲线的几何性质，第②问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．另外，圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示：设椭圆C₁的两个焦点为F₁、F₂，动点P满足 $\text{[math]}$ ，则动点轨迹也是曲线C₂．