Question

已知正三棱锥P-ABC的外接球O的半径为1，且满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，则正三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

• D．

  3 3

  4

Answer 1

分析：由题意

OA

+

OB

+

OC

=

0

，知球心在三棱锥的底面中心，推出球的半径，求出正三棱锥的高，底面面积，即可得到球的体积．

解答：解：∵正三棱锥P-ABC的外接球心为O，且满足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
∴球心在三棱锥的底面中心，
∵球的半径为1，
∴正三棱锥的高为：1，
∴正三棱锥的底面边长为：2

12-( 1 2 )2

=

3

，
∴底面面积S=

1

2

×（

3

）²×sin60°=

3 3

4

，
∴正三棱锥的体积V=

1

3

×

3 3

4

×1=

3

4

．
故选B．

点评：本题是中档题，确定球的球心的位置是解题的关键，注意正三棱锥的体积的求法，正三角形的面积的应用，考查计算能力，空间想象能力．