Question

已知函数f(x)＝(b＜0)的值域为［1，3］ (1) 求实b、c的值 (2) 判断函数f(x)在［－1，1］上的单调性，并给出证明

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由y＝，得(2－y)x2＋bx＋c－y＝0．　　① 　　当y－2≠0时，由x∈R，有△＝b2－4(2－y)(c－y)≥0， 　　即4y2－4(2＋c)y＋8c－b2≤0． 　　由已知得2＋c＝1＋3且＝1×3， 　　∴b＝±2，c＝2． 　　又b＜0，∴b＝－2，c＝2． 　　而y－2＝0，b＝－2，c＝2代入①得x＝0， 　　∴b＝－2，c＝2为所求．
(2)	设－1≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝． 　　∵≤1，≤1，x1＜x2 　　∴＜1，1－x1x2＞0． 　　而x2－x1＞0，＋1＞0，＋1＞0 　　∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) 　　∴f(x)＝在［－1，1］上是减函数． 　　点评：本例是在已知函数的定义域和值域的前提下，确定函数解析式中的系数．因此，在解题过程中利用“待定系数法”并结合求形如y＝分式形式的函数的值域，其过程是去分母，变形为整式．运用“判别式”法求函数的值域，在解题过程中必须注意：(1)二次项系数不为零且方程有实数解时，△≥0；(2)二次项系数为零时，代入检验变量是否满足已知条件