Question

有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x²+y²=r²（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1．写出该定理在有心曲线

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)中的推广

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于-

n

m

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，由圆的性质类比猜想有心曲线的性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于有心曲线的一个结论．

解答：解：定理：如果圆x²+y²=r²（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1．
运用类比推理，写出该定理在有心曲线

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)中的推广：

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于-

n

m

．
故答案为：

x2

m

+

y2

n

=1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于-

n

m

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．