题目内容
已知
(1)若时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
(3)令是否存在实数
,当
是自然对数的底)时,函数
的最小值是3,
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1);(2)
;(3)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)时,利用求导法则得到
的导函数,计算知
,即切线斜率为1,再得到
,从而通过直线的点斜式方程得到所求切线方程;(2)函数
在
上是减函数,即导函数
在
上是恒小于或等于0.
,在
上分母
恒为正,所以分子
,令
,则
为开口向上的二次函数.所以本题转化为二次函数在闭区间的最值问题.
,故两个可能的最大值
,得实数
的取值范围
;(3)对
求导,讨论
的范围,研究导数的正负从而确定
在
上的单调性,得到其最小值,由条件最小值是3得到
的值,注意此时还要判断
是否在所讨论的范围内,若不在则要予以舍去.
试题解析:(1)当时,
1分
函数
在点
处的切线方程为
3分
(2)函数在
上是减函数
在
上恒成立
4分
令,有
得
6分
7分
(3)假设存在实数,使
在
上的最小值是3
8分
当时,
,
在
上单调递减,
(舍去)
10分
当且
时,即
,
在
上恒成立,
在
上单调递减
,
(舍去)
11分
当且
时,即
时,令
,得
;
,得
在
上单调递减,在
上单调递增
,
满足条件
13分
综上所述,存在实数,使
在
上的最小值是3 14分
考点:1.导数的几何意义;2.二次函数在闭区间的最值;3.利用导数研究函数的单调性.
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