Question

在同一平面内，边长为2的等边△ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线l₁，l₂上，另一个顶点A在直线l₁、l₂之间，AB与l₁的夹角为θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）当θ=45^o时，求点A到直线l₁的距离；
（II）若点A到直线l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，记d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）过点A作直线l₁的垂线，垂足为M，然后解三角形，求点A到直线l₁的距离；
（II）过点A作直线l₂的垂线，垂足为N，点A到直线l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，表示出d₁、d₂，和d₁•d₂=f（θ），然后求f（θ）的取值范围．

解答：解：（I）过点A作直线l₁的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，sin45°=

|AM|

2

，
∴|AM|=2sin45°=2×

2

2

=

2

即：点A到直线l₁的距离为

2

．

（II）过点A作直线l₂的垂线，垂足为N，
∵AB与l₂的夹角为θ，∴AC与l₂的夹角为60°-θ，
在Rt△ABM，d₁=AM=2sinθ
在Rt△ACN，d₂=AN=2sin（60°-θ）
d₁•d₂═4sin（60°-θ）sinθ
=4(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)sinθ
=2(

3

2

sin2θ-

1-cos2θ

2

sin2θ)
=2sin（2θ+30°）-1
∵0°＜θ＜60°∴30°＜2θ+30°＜150°
∴

1

2

＜sin（2θ+30°）≤1，∴d₁d₂∈（0，1]

点评：本题考查点到直线的距离，正弦函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，是中档题．