Question

直线l：x-2y-4=0与椭圆x²+my²=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，-1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）先把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根据其中点的坐标求得m．
（2）把（1）中求得椭圆方程与直线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x₁x₂的值，进而求得出|AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案．

解答：解：（1）：

x-2y-4=0 x 2+my 2=16

消去y，整理得（

m

4

+1）x²-2mx+4m-16=0
∴x₁+x₂=

2m

m 4 +1

=4，则m=4
（2）由（1）知

x-2y-4=0 x 2+4y 2=16

，消去y，
∴x₁x₂=0
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2

=2

5

坐标原点O到直线x-2y-4=0的距离为d=

4

1+4

=

4

5

∴三角形ABC的面积为

1

2

×|AB|×d=4

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力．