Question

已知抛物线P的方程是x²=4y，过直线l：y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）设A（m，-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用导数的几何意义可得

y1+1

x1-m

=

1

2

x₁，化简得 x12-2mx₁-4=0．同理可得 x22-2mx₂-4=0，故有 x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-4．计算AB和AC的斜率之积等于-1，从而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）求得BC所在的直线方程为 y-y₁=

y1-y2

x1-x 2

（x-x₁），化简为y=

1

2

mx+1，显然过定点（0，1）．

解答：解：（1）证明：设A（m，-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
∵抛物线P的方程是x²=4y，∴y′=

1

2

x．
∴

y1+1

x1-m

=

1

2

x₁，∴

1

4

x12+1=

1

2

x12-

1

2

mx₁，∴x12-2mx₁-4=0．
同理可得，x22-2mx₂-4=0，∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-4．
∵K_AB•K_AC=

1

2

x₁•

1

2

x₂=

1

4

•x1•x 2=-1，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）证明：BC所在的直线方程为 y-y₁=

y1-y2

x1-x 2

（x-x₁），
化简可得 y-

1

4

x12=

1

4

（x₁+x₂）（x₁-x₂），即 y=

1

2

mx+1，
显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点（0，1）．

点评：本题主要考查函数的导数的几何意义，判断两条直线垂直的方法，直线过定点问题，属于中档题．