Question

已知关x的一元二次函数f（x）=ax²-bx+1，设集合P={1，2，3}Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．
（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）依次从集合PQ中选取两个数组成数对，然后再找出满足△=b²-4a≥0的数对个数，再与总数对个数相比可求出答案．
（2）因为a＞0所以函数f（x）是开口向上的二次函数，只要数对满足对称轴x=

b

2a

≤1即可保证y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求出数对个数后再与总个数相比可得答案．

解答：解：（1）（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况
函数y=f（x）有零点，△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件
所以函数y=f（x）有零点的概率为

6

15

=

2

5

（2）函数y=f（x）的对称轴为x=

b

2a

，在区间[1，+∞）上是增函数则有

b

2a

≤1，（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件
所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为

13

15

点评：本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．