题目内容
设函数f(x)=sinx-
cosx+x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求边长b的最小值．
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（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求边长b的最小值．
分析：（Ⅰ）确定切点坐标，求导函数求斜率，即可求得切线方程；
（Ⅱ）先求B，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得边长b的最小值．
（Ⅱ）先求B，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得边长b的最小值．
解答：解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=1-
，则切点为（0，1-
）
∵f′(x)=cosx+
sinx+1，∴f′（0）=2
∴函数f（x）在x=0处的切线方程为y-（1-
）=2（x-0），即y=2x+（1-
）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（B）=2sin（B+
）+1=3，即sin（B+
）=1，∴B=
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4-3ac≥4-3•(
)2=4-3=1
当且仅当a=c=1时，取等号
∴b2≥1，
∵b＞0，∴b≥1，
∴bmin=1．
| 3 |
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∵f′(x)=cosx+
| 3 |
∴函数f（x）在x=0处的切线方程为y-（1-
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（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（B）=2sin（B+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
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由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4-3ac≥4-3•(
| a+c |
| 2 |
当且仅当a=c=1时，取等号
∴b2≥1，
∵b＞0，∴b≥1，
∴bmin=1．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．
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