Question

设函数f(e^x)＝ex，g(x)－(x＋1)(e＝2.718……)

(1)求函数g(x)的极大值

(2)求证1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N^*)

(3)若h(x)＝x²，曲线y＝h(x)与y＝f(x)是否存在公共点，若存在公共点，在公共点处是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　g(x)＝lnx－(x＋1) 　　当0＜x＜1时，＞0 　　当x＞1时，＜0 　　所以g(x)极大值＝g(1)＝－2　3分 　　(2)由(1)知，x＝1是极大值点，也是最大值点， 　　所以g(x)≤g(1)＝－2 　　即lnx－(x＋1)≤－2，lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立) 　　令u＝x－1，得u≥ln(u＋1)，取u＝ 　　　8分 　　(3)令F(x)＝h(x)－f(x)＝－elnx(x＞0) 　　 　　　12分