题目内容

设函数f(ex)=ex,g(x)-(x+1)(e=2.718……)

(1)求函数g(x)的极大值

(2)求证1++…+>ln(n+1)(n∈N*)

(3)若h(x)=x2,曲线y=h(x)与y=f(x)是否存在公共点,若存在公共点,在公共点处是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不存在,说明理由.

答案:
解析:

  (1)

  g(x)=lnx-(x+1)

  当0<x<1时,>0

  当x>1时,<0

  所以g(x)极大值=g(1)=-2 3分

  (2)由(1)知,x=1是极大值点,也是最大值点,

  所以g(x)≤g(1)=-2

  即lnx-(x+1)≤-2,lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)

  令u=x-1,得u≥ln(u+1),取u=

   8分

  (3)令F(x)=h(x)-f(x)=-elnx(x>0)

  

   12分


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