Question

已知函数，其中t为常数，且t＞0．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且设，证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴…（3分）
∵x＞0，
∴当x＜t时，f'_t（x）＞0；
当x＞t时，f'_t（x）＜0，
∴当x=t时，f_t（x）取得最大值． …（6分）
（Ⅱ）证明：由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）…（8分）
检验知n=1、2时，结论也成立，
故a_n=2ⁿ+1．…（9分）
所以，
令，
则，
由（Ⅰ）可知，．
∴对任意的x＞0，不等式成立．…（13分）
分析：（Ⅰ）由，知．由此能求出函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值．
（Ⅱ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．所以，由此能够证明对任意的x＞0，不等式成立．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和累加求和法的合理运用．易错点是运算量大，容易失误，解题时要注意计算能力的培养．