Question

我们把形如y=

b

|x|-a

(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，根据a=1，b=1我们易求出“囧点”坐标，并设出“囧圆”的方程，根据求出圆心到“囧函数”图象上的最小距离后，即可得到结论．

解答：解：当a=1，b=1时，
则函数 y=

1

|x|-1

与Y轴交于（0，-1）点
则“囧点”坐标为（0，1）
令“囧圆”的标准方程为x²+（y-1）²=r²，
令“囧圆”与函数 y=

1

|x|-1

图象的左右两支相切
则切点坐标为（±

1+ 5

2

，±

1+ 5

2

）
此时r=

3

；
令“囧圆”与函数 y=

1

|x|-1

图象的下支相切
则切点坐标为（0，-1）
此时r=2；
故所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π
故答案为：3π

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键，属中档题．