Question

（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；

（2）设．求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立 条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法.

试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则，          2分

所以，当时，                                  5分

此时，而

所以当时该扇形面积最大                         7分

（2）证明：

                     9分

∵，∴，                        11分

∴当时，         14分

又，所以，当时取等号，

即．                                 16分

法二：

                            9分

∵，,                 11分

∴当时，

，                    14分

又∵，∴

当时取等号

即．                                             16分

考点：扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.