题目内容

已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2
(Ⅰ)求直线l2的方程;
(Ⅱ)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
分析:(I)欲求直线l2的方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合l1⊥l2即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(II)先通过解方程组得直线l1和l2的交点的坐标和l1、l2与x轴交点的坐标,最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可.
解答:解:(I)y′=2x+1.
直线l1的方程为y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)
因为l1⊥l2,则有k2=2b+1=-
1
3
,b=-
2
3

所以直线l2的方程为y=-
1
3
x-
22
9

(II)解方程组
y=3x-3
y=-
1
3
x-
22
9
x=
1
6
y=-
5
2
.

所以直线l1和l2的交点的坐标为(
1
6
,-
5
2
)

l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(-
22
3
,0)

所以所求三角形的面积S=
1
2
×
25
3
×|-
5
2
|=
125
12
点评:本小题主要考查导数的几何意义,两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
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