Question

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C与圆M：（x-5）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点，求r的取值范围；
（3）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

分析：（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=

1

2

|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式即可得出；
（2）联立抛物线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0联立不等式组求解r的取值范围；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.y12=8x1，y22=8x2．利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为化为8+y₁y₂=0．又直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，代入化简整理为y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．

解答：解：（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x；
（2）联立

y2=8x (x-5)2+y2=r2

，得x²-2x+25-r²=0．
∵轨迹C与圆M：（x-5）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点，
∴

△=(-2)2-4(25-r2)＞0 25-r2＞0

，
解得2

6

＜r＜5；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.y12=8x1，y22=8x2．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y12 8 +1

=-

y2

y22 8 +1

，化为8+y₁y₂=0．
直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y22 8 - y12 8

(x-x1)，化为y-y1=

8

y2+y1

(x-

y12

8

)，
化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-y12，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过定点（1，0）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了判别式法判断两曲线的位置关系，考查了直线恒过定点问题，综合运用了抛物线的性质、直线斜率之间的关系及直线的方程的转化，考查了学生的运算能力，属压轴题．