题目内容

求满足下列条件的直线方程:
(1)经过原点,且倾斜角是直线y=
4
3
x-2014
的倾斜角的一半.
(2)倾斜角为π-arctan
1
2
,且原点到该直线的距离为
5

(3)过A(-2,1),B(2,-3)的中点P,比直线AB的倾斜角小45°.
分析:(1)根据倾斜角关系求出直线的斜率即可.
(2)根据倾斜角求出斜率,利用待定系数法进行求解.
(3)求出中点P,以及直线的倾斜角,即可求直线的方程.
解答:解:(1)设直线y=
4
3
x-2014
的倾斜角为θ,则tanθ=
4
3
,则所求直线的斜率k=tan
θ
2
>0,
∵tanθ=
4
3
=
2tan?
θ
2
1-tan?2
θ
2

4tan2
θ
2
+6tan
θ
2
-4=0

2tan?2
θ
2
+3tan?
θ
2
-2=0

解得tan
θ
2
=
1
2
tan
θ
2
=-2
(舍去),
直线斜率k=tan
θ
2
=
1
2

∵直线过原点,∴直线方程为y=
1
2
x

(2)∵直线的倾斜角为π-arctan
1
2

∴斜率k=tan(π-arctan
1
2
)=-
1
2

设直线方程为y=-
1
2
x+b
,即x+2y-b=0,
∵原点到该直线的距离为
5

∴d=
|b|
12+22
=
|b|
5
=
5

即|b|=5,解得b=±5,
∴直线方程x+2y+5=0或x+2y-5=0.
(3)A(-2,1),B(2,-3)的中点P(0,-1),
AB的斜率k=tanθ=
-3-1
2-(-2)
=
-4
4
=-1

∴直线AB的倾斜角为135°,
则所求直线的倾斜角为135°-45°=90°,
∴直线方程为x=0.
点评:本题主要考查直线方程的求法,根据直线方程的本题的条件是解决本题的关键.
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