题目内容
过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角45°的直线，则被抛物线截得的弦长为（ ）
| A、8 | B、16 | C、32 | D、64 |
分析：求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x-2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x2-12x+4=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．
解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，
=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．
∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1
可得直线方程为：y=1×（x-2），即y=x-2．
设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联解
，消去y得x2-12x+4=0，
∴x1+x2=12，
根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+
=x1+2，|BF|=x2+
=x2+2，
∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．
故选：B
| p |
| 2 |
∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1
可得直线方程为：y=1×（x-2），即y=x-2．
设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联解
|
∴x1+x2=12，
根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．
故选：B
点评：本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为45°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
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