Question

如图，设△OEP的面积为S，已知=1．
（1）若，求向量与 的夹角θ的取值范围；
（2）若S=||，且||≥2，当||取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O为中心，F为一个焦点且经过点P的椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令 ，由题设知 ，，∵，∴，由此可求出 的范围．．
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知 .，．由此知 ，由此入手，当 取最小值时，能够求出椭圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）令 ，
∵，∴，∴，
∵=，
∴，∵，∴，
∵θ∈[0，π]，∴．

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且 ，∴．
∵，
∴．
∴，∴．
∴，
∵c≥2，
∴当c=2时，最小，此时Q（ ），
设椭圆方程为 ，
∴，
∴a²=10，b²=6．
∴所求椭圆为 ．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．