题目内容

已知动圆P与两圆(x+2)2+y2=2,(x-2)2+y2=2中的一个内切,另一个外切.
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程;
(2)过(2,0)作直线l交曲线E于A、B两点,使得|AB|=2
2
,求直线l的方程;
(3)若从动点P向圆C:x2+(y-4)2=1作两条切线,切点为A、B,设|PC|=t,试用t表示
PA
PB
,并求
PA
PB
的取值范围.
分析:(1)根据动圆P与两圆(x+2)2+y2=2,(x-2)2+y2=2中的一个内切,另一个外切,可得点P的轨迹是以M(-2,0),N(2,0)为焦点,实轴长为2
2
的双曲线,由此可得动圆圆心P的轨迹E的方程;
(2)分类讨论,设出直线方程代入双曲线方程,结合|AB|=2
2
,可求直线l的方程;
(3)利用向量的数量积公式,表示出
PA
PB
,利用函数的单调性,即可求
PA
PB
的取值范围.
解答:解:(1)设两圆的圆心分别为M,N,则
∵动圆P与两圆(x+2)2+y2=2,(x-2)2+y2=2中的一个内切,另一个外切
∴||PM|-|PN||=2
2
,∴点P的轨迹是以M(-2,0),N(2,0)为焦点,实轴长为2
2
的双曲线.
即a=
2
,c=2,∴b=
2

∴所求的W的方程为x2-y2=2;
(2)若k不存在,即x=2时,可得A(2,
2
),B(2,-
2
),|AB|=2
2
满足题意;
若k存在,可设l:y=k(x-2),代入双曲线方程,可得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0
1-k2≠0
△>0
,可得k≠±1
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
8k2+8
|1-k2|
1+k2
=2
2
,∴k=0即l:y=0
∴直线l的方程为x=2或y=0;
(3)
PA
PB
=|
PA
||
PB
|
cos∠APB=(t2-1)(1-2sin2APC)=(t2-1)[1-2(
1
t
2]=
(t2-1)(t2-2)
t2

又t2=x2+(y-4)2=y2+2+(y-4)2=2y2-8y+18=2(y-2)2+10≥10
PA
PB
=
(t2-1)(t2-2)
t2
=t2+
2
t2
-3

∵f(t)=t2+
2
t2
-3
在[
10
,+∞)是增函数,
∴f(t)≥10+
2
10
-3=7
1
5

PA
PB
的取值范围是[7
1
5
,+∞).
点评:本题考查双曲线方程和直线方程的求法,考查向量知识的运用,灵活运用圆锥曲线的性质和向量数量积计算公式是解题的关键.
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