题目内容
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
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组别 |
PM2.5（微克/立方米） |
频数（天） |
频率 |
|
第一组 |
(0,15] |
4 |
0.1 |
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第二组 |
(15,30] |
12 |
0.3 |
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第三组 |
(30,45] |
8 |
0.2 |
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第四组 |
(45,60] |
8 |
0.2 |
|
第三组 |
(60,75] |
4 |
0.1 |
|
第四组 |
(75,90) |
4 |
0.1 |
（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为
，求的分布列及数学期望
．
（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．
（2）该居民区的环境需要改进．
（3）变量
的分布列为
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0 |
1 |
2 |
|
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|
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（天）,或
（天）。
【解析】
试题分析：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． 4分
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
（微克/立方米）．
因为
，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进． 8分
（3）记事件
表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，
则
. 随机变量的可能取值为0,1,2.且
.
所以
， 所以变量的分布列为
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0 |
1 |
2 |
|
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（天）,或（天） 12分
考点：本题主要考查频率分布表，众数、中位数的概念及计算，随机变量的分布列与期望。
点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。题中随机变量服从，使分布列的确定思路明确。对计算能力要求较高。
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